Aksioma Lapangan (Field)

Aksioma Bilangan Real
Aksioma Lapangan
Misalkan R adalah himpunan bilangan real, Himpunan yang memenuhi aksioma dibawah ini disebut lapangan terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.)
    A1.  a+b =b+a
    A2.  (a+b)+c=a+(b+c)
    A3. Ada 0 anggota bilangan real, sehingga a+0 = 0+a = a untuk setiap a bilangan real
    A4. Untuk setiap a bilangan real, ada satu b anggota bil. Real sehingga a+b=0
    A5. a.b=b.a
    A6. (ab).c = a.(bc)
    A7. Ada 1 anggota bilangan real, sehingga 1.a=a.1=1, untuk setiap a anggta bilangan real
    A8. Untuk setiap a anggota bilangan real, a tidak nol,ada b anggota R sehingga ab=1
    A9. a(b+c)=ab+ac

Aksioma Urutan
Misalkan P adalah himpunan bagian dari R yang memenuhi:
    A1.  Jika x dan y di P maka x+y  anggota P
    A2.  Jika x dan y di P, maka x.y anggota P
    A3.  Jika x di P, maka -x bukan anggota P
    A4.  Jika x anggota P maka x=0, atau x anggota P atau -x anggota P
suatu sistem yang memenuhi aksioma lapangan dan aksimoa urutan disebut lapangan terurut. Sehingga bilangan real dan bilangan rasionan lapangan terurut.
Contoh Soal:
1. Diktahui  untuk a anggota bilangan real, dimana
    
    Buktikan bahwa a=0
    Bukti:
    Andaikan
                   
     misal a>0, kemudian pilih
                   
     maka
                  
     hal ini kontradiksi, sehingga terbukti a = 0