Metode Bagi Dua

Metode Bagi Dua (Metode Bisection) merupakan suatu metode  tertutup, artinya suatu metode yang digunakan untuk menenukan akar suatu fungsi diantara dua titik pada sumbu x. Misalkan diketahui r (akar yang belum dikathui)  dari suatu fungsi f(x) yang kontinu, menentukan akar dengan metode bagi dua adalah 

• pertama tebakan awal tentukan dua buah titik a dan b pada sumbu x dengan (a<b)
• nilai akar r=c dari suatu fungsi f(x) terletak diantara interval [a,b] yang berlaku c=(a+b)/2
• jika fa=f(a) dan fb=f(b) berlaku fa*fb>0 maka proses mencari akar gagal
• jika fa=f(a) dan fb=f(b) berlaku fa*fb<0 maka proses mencari berlanjut dengan b=c atau fb=fc, jika tidak a=c atau fa=fc
• proses ini berlanjut terus menerus sampai nilai dari |b-a|< toleransi yang diberika diawal

Algoritman Metode Bagi Dua (Bisection)

1. set c=(a+b)/2
2. jika fc=0 maka x=c adalah solusi eksak dari suatu fungsi yang akan dicari
3. jika fa.fc<0 maka solusi terletak pada interval (a,c)
4. jika fa.fc>0 maka solusi terletak pada interval (c,b)
5. dengan mengganti interval (a,b) dengan salah satu dari (a,c) atau (c,b) yang mengandung akar persamaan, kesalahan mencari akar persamaan f(x)=0 secara rata-rata  setengah dari jarak interval tersebut
6. pengulangan dilakukan samapai solusi eksak ditemukan

Kelebihan Metode Bagi Dua (Bisection)

• metode bisection sangat sederhana
• selalu konvergen

Kelemahan Metode Bagi Dua (Bisection)

• harus menebak dua titik
• kekonvergenan relatif lambat
• jika pada selang diamati terdapat akar yang sama (double root) atau closely spaced roots, metode bagi dua memberikan hasil yang tidak akurat

Program Metode Bagi Dua (Bisection) dalam MATLAB

function fsposisisalah(f,a,b,n,toll)

% ----------- FUNGSI BAGI DUA (BISECTION)----------

% variabel f :fungsi,

%          a :batasan titik awal yang mengafit akar c

%          b :batasan titik akhir yang mengafit akar c

%          n :anyaknaya iterasi

%          toll: nilai toleransi (epsiolon) yang membatasi iterasi

syms x;

N=[];

    disp('----------------------------------------------------------------');

    fprintf('\t interval \t a\t\t  c \t\t b \t\t fa \t\t fc \t fb\t\n');

    disp('----------------------------------------------------------------');

    for i=1:n,                      % i bergerak dari i sampai n

        fa=subs(f,x,a);             % fa = f(a)

        fb=subs(f,x,b);             % fb = f(b)

        c=b-(fb*(b-a)/(fb-fa));

        fc=subs(f,x,c);             % fc = f(c)

        N=[N;i a c b fa fc fb];

        if fa*fc<0                  % f(a).f(c) < 0 maka

            b=c;                    % interval akar ada di [a,c]

        else                        % sebaliknay jiak f(b).f(c) < 0 maka

            a=c;                    % interval akar ada di [c,b]

        end

        if abs(b-a)<toll            % iterasi berenti ketika |b-a|< epsilon

            break;                  % epsilon=toll --> didef. diawal

        end

    end

    N

% -------------------------------------------------------------------------

% Untuk memanggil di Command  Window

% Pilih interval [a,b]=[2,3] dan n=25 dan toll=10^(-6)

% >> syms x;

% >> f=x^3-3*x-5    

% fsbisection(f,2,3,25,1e-6)

Outputnya:

>> fsbisection(f,2,3,25,1e-6)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                 interval              a                      c                          b                          fa                      fc                          fb       

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

N =

    1.0000         2.0000             2.5000                  3.0000            -3.0000               3.1250            13.0000

    2.0000         2.0000             2.2500                  2.5000            -3.0000              -0.3594             3.1250

    3.0000         2.2500             2.3750                  2.5000            -0.3594               1.2715             3.1250

    4.0000         2.2500             2.3125                  2.3750            -0.3594               0.4290             1.2715

    5.0000         2.2500             2.2813                  2.3125            -0.3594               0.0281             0.4290

    6.0000         2.2500             2.2656                  2.2813            -0.3594              -0.1673             0.0281

    7.0000         2.2656             2.2734                  2.2813            -0.1673              -0.0700             0.0281

    8.0000         2.2734             2.2773                  2.2813            -0.0700             -0.0211              0.0281

    9.0000         2.2773             2.2793                 2.2813            -0.0211               0.0035              0.0281

   10.0000       2.2773              2.2783                 2.2793            -0.0211              -0.0088             0.0035

   11.0000       2.2783              2.2788                 2.2793            -0.0088              -0.0026             0.0035

   12.0000       2.2788              2.2791                 2.2793            -0.0026               0.0004              0.0035

   13.0000       2.2788              2.2789                 2.2791            -0.0026              -0.0011             0.0004

   14.0000       2.2789              2.2790                 2.2791            -0.0011              -0.0003             0.0004

   15.0000       2.2790              2.2790                 2.2791            -0.0003               0.0000             0.0004

   16.0000       2.2790              2.2790                 2.2790            -0.0003              -0.0001            0.0000

   17.0000       2.2790              2.2790                 2.2790            -0.0001              -0.0001            0.0000

   18.0000       2.2790              2.2790                 2.2790            -0.0001              -0.0000            0.0000

   19.0000       2.2790              2.2790                 2.2790            -0.0000                0.0000           0.0000

   20.0000        2.2790            2.2790                  2.2790            -0.0000               0.0000            0.0000

Akar yang diperoleh:
Dari tabel diatas terlihat bahwa akarnya diperoleh ketika nilai f(c) = 0, sehingga akar persamaan tersebut adalah 2.2790 yang diperoleh pada iterasi ke-20