Definisi Limit Fungsi

Membuat definisi yang presisi mengunakan huruf Yunani (epsilon) dan (delta) untuk menggantikan sembarang bilangan positif yang sangant kecil. Mengatakan bahwa f(x) berbeda dari L yang sangat kecil perbedaan ukurannya, sebagai ilustrasi perhatikan simbol dibawah ini

$L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon$

atau

$|L-f(x)|<\varepsilon$

Ini bermakna " bahwa f(x) terletak dalam interval terbuka
$\left ( L-\varepsilon ,L+\varepsilon \right )$
atau x itu cukup dekat tetapi berlainan dengan c atau sama saja dengan mengatakan bahwa utuk setiap delta, x terletak dalam interval terbuka
Definisi Limit
Mengatakan bahwa

$\lim_{x\to c} f(x)=L$

Berarti

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0,|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon$

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa

$\lim_{x\to 2}(x+1)=3$

  Pembahasan :
  Analisis Pendahuluan
  Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(x+1)-3|=|x-2|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$ , yakni $\delta =\varepsilon$ , tentu saja sebarang $\delta$ yang lebih kecil akan memenuhi.
Bukti Formal:

Misal $\varepsilon >0$ diberikan sembarang
pilih $\delta =\varepsilon$ dengan
$|x-2|<\delta$
sehingga

$|(x+1)-3|=|x-2|<\delta =\varepsilon$

2. Buktikan bahwa
$\lim_{x\to 1}x^{2}=1$

Pembahasan :
Analisis Pendahuluan

Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$0<|x-1|<\delta \Rightarrow |x^{2}-1|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$ , yakni $\delta =1$
yaitu
$|x-1|<1$
sehingga
$|x+1|=|x-1+2|<|x-1|+2<1+2=3$
Bukti Formal:
Misal $\varepsilon >0$ diberikan sembarang
Pilih

$\delta=min \left \{ 1, \frac{\varepsilon }{3} \right \}$

dengan

$|x-1|<\delta$
sehingga berlaku
$|x^{2}-1|=|(x+1)(x-1)|=|x+1|.|x-1|<3\delta=\varepsilon$
bukti selesai
3. Buktikan limit berikut ini

$\lim_{x\to 3 }(x^{2}+x-5)=7$

Analisis Pendahuluan

Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$0<|x-3|<\delta \Rightarrow |x^{2}+x-5-7|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$ , yakni $\delta =1$
yaitu
   $0<|x-3|<\delta=1$
sehingga
   $|x^{2}+x-5)-7|=|x^{2}+x-12|=|(x+4)(x-3)|<\delta |x+4|$
mencari
   $|x+4|=|x-3+7|=|x-3|+7<1+7=8$

Bukti Formal:

Misal $\varepsilon >0$ diberikan sembarang
Pilih

$\delta =min\left \{ 1,\frac{\varepsilon }{8} \right \}$