Integrasi Numerik

Diketahui data dari suatu fungsi sebagai berikut X 0     1     -2     2 Y -1     3      2     5

1.       Berdasarkan data disamping  tentukan Turunan fungsi f’(0), untuk meneliti kebenaran gunakan fungsi diff dan gunakan posisi beda tengah a)      Tentukan fungsi disamping tersebut dengan fungsi DifDifNewton b)      Dengan menggunkan beda tengah, tentukan turunan di  dengan c)       Perbandingan turunan fungsi jika menggunakan fungsi diff pada MATLAB 2.       Cari hampiran integral fungsi pada interval [-1,3] dengan n=5 dengan menggunakan a.       Program dengan Metode Romberg b.       Bandingkan dengan mengecek dengan menggunakan fungi Int

Pembahasan Bagian 1

a.      Progranm menentukan fungsi  berdasar data diatas pada command window

Command Window

function f = newdiff(x,y)

A = divdiff(x,y); %memanggil fungsi lain

syms z

n = length(x);

temp = A(1,n); %penamaan sementara

for i = n-1:-1:1,

   temp = temp*(z - x(i)) + A(1,i);

end

f = temp;

Kemudian jika program sudah selesai, maka dapat dipanggil pada command window dengan menuliskan data sebagai berikut:

Command Window

>> X =[0 1 -2 2];

>> Y =[-1 3 2 5];

>> syms x

>> f = newdiff(X,Y)

      f =

          - x*(((17*x)/24 - 5/12)*(x - 1) - 4) - 1

b.       Turunan fungsi dengan menggunakan beda tengah di di  dengan

Command Window

>> (subs(f,z,0.1)-subs(f,z,-0.1))/0.2

      ans =

            3.5763

c.        Perhitungan dengan  turunan fungsi jika menggunakan fungsi diff pada MATLAB

Command Window

>> subs(diff(f,z),z,0)                                                                                             

ans =

    3.5833

Kesimpulan:

Berdasarkan hasil perhitungan diatas, dapat dilihat bahwa perhitungan dengan menggunkan metode beda tengah diperoleh hasil turunan di   adalah 3.5763 tetapi dengan mensubstitusikan langsung pada hasil turunnya diperoleh 3.5833. Terlihat terjadi galat (kesalahan) dari kedua hasil perhitungan yaitu

Galat = Hasil sebenarnya- hasil pendekatan

                                                               = 3.5833-3.5763

                                                               = 0.0070

Pembahasan Bagian 2

a.      Menentukan hampiran fungsi diatas  berdasar data diatas pada interval [-1,3] dengan n=5 dengan menggunakan Metode Romberg

Command Editor

function r = romberg(f,a,b,n)

syms x

h = b-a;

r(1,1) = (h/2)*(subs(f,x,a)+subs(f,x,b));

for i = 1:n,

    h = h/2;

    total = 0;

    for k = 1:2:(2^i)-1,

        total = total + subs(f,x,a+k*h);

    end

    r(i+1,1) = (1/2)*r(i,1)+total*h;

    for j = 1:i,

        r(i+1,j+1) = r(i+1,j)+(r(i+1,j)-(r(i,j)))/(4^(j)-1);

    end

end

untuk memanggil program diatas pada command window terlebih dahulu harus menuliskan sebagai berikut: 

Command Window

 

>> metoderomberg(f,-1,3,5)

ans =

   -4.0000         0         0         0         0         0

    4.0000    6.6667         0         0         0         0

    6.0000    6.6667    6.6667         0         0         0

    6.5000    6.6667    6.6667    6.6667         0         0

    6.6250    6.6667    6.6667    6.6667    6.6667         0

    6.6563    6.6667    6.6667    6.6667    6.6667    6.6667

b.      Bandingkan dengan mengecek fungsi Int

Command Window

>> int(f,-1,3)

     ans =

             20/3

>> 20/3

     ans =             

                       6.6667

6.6667

Kesimpulan:

Berdasarkan hasil perhitungan diatas, dapat dilihat bahwa perhitungan dengan menggunkan metode Romberg diperoleh hasil adalah 6.6667 tetapi nilai sebenarnya adalah  6.6667, dari hasil yang didapat tidak terjadi galat, tetapi sebenarnya ada galat jika data yang dimunculkan nilai dibelakang komanya lebih dari 4 bilangan.