Pendahuluan

Senin, 11 Februari 2013

Metode Numerik merupakan cabang dari ilmu matematika, khususnya matematika rekayasa yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematika. Proses matematik itu selanjutnya telah dirumuskan untuk menirukan keadaan sebenarnya. Dalam kegiatan rekayasa dan penelititan , setiap analsis diharapkan dapat menghasilakan bilangan yang diperlukan.

• Masalah matematika tidak selalu dapat diselesaikan secara analitik, misalnya yang melibatkan integral  dari fungsi-fungsi yang berbentuk kompleks 
• Dalam kasus demikian, komputasi numerik (penyelesaian masalah menggunakan metode numerik) menjadi salah satu pendekatan alternatif yang dapat digunakan
• Strategi yang digunakan dalam komputasi numerik adalah menyederhanakan masalah melalui transformasi berikut:
• infinite  →  finite
• differential  →  algebraic
• nonlinear  →  linear
• complicated  →  simple
• Dalam penyelesaian masalah, metode numerik menggunakan operasi-operasi yang dapat dilakukan oleh komputer, yaitu operasi aritmatika dan logika.
• Penggunaan komputer dapat memperpendek waktu yang digunakan untuk penyelesaian masalah-masalah yang membutuhkan waktu sangat lama bila dikerjakan secara manual
• Solusi yang diperoleh melalui komputasi numerik biasanya berupa suatu hampiran, yang mengandung kesalahan numerik
• Aspek penting dalam komputasi numerik selain kecepatan proses adalah keakuratan hasil
• Metode numerik yang baik adalah yang bisa memberikan solusi yang akurat dalam waktu yang relatif cepat

Sumber Galat
• Sebelum proses komputasi:

• Kesalahan akibat model yang salah

• Kesalahan karena hasil observasi yang salah/ pengukuran yang salah

• Kesalahan yang dibawa dari proses perhitungan yang sebelumnya

•Selama proses komputasi:

• Kesalahan karena hasil pendekatan/ hampiran

• Kesalahan karena proses pemangkasan atau pembulatan

Contoh:
Kesalahan yang terjadi dalam perhitungan luas permukaan bumi menggunakan formula  
A = 4 π r2  adalah: 

• Memodelkan bumi sebagai bola dengan permukaan yang rata
• Perhitungan jari-jari bumi
• Perhitungan nilai π
• Hasil komputasi yang melibatkan proses pembulatan

Penyajian Sistem Bilangan

• Sistem Desimal :  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Sistem Biner     :  0, 1
• Sistem Oktal     :  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Sistem Hexadesimal :  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C , D, E, F

1. Sistem Biner

• Sistem bilangan yang mendasari operasi komputer adalah sistem bilangan biner, sehingga sistem bilangan ini perlu dibahas lebih lanjut.
• Suatu bilangan biner x adalah suatu sekuens terbatas dari digit-digit 0 dan 1, serta dapat dilambangkan sebagai berikut 
• Bentuk umum    
• Cara Penyelesaian 
•  
• Contoh Soal

                                  
                                            
                                            
                   

2. Sistem Desimal

komentar | | Read More...

Tinggkat Suku Bunga

Minggu, 10 Februari 2013

1. Suku Bunga Efektif
    Investasi sebesar 1 satuan moneter pada waktu t, menghasilkan (1+i(t)).
    i(t) : suku bunga efektif untuk periode bersangkutan
   Jika tingkat bunga yang dikenakan tidak bergantung pada jumlah yang diinvestasikan, maka suatu investasi sebesar C pada waktu t akan menghasilakan c[1+i(t)] pada waktu t+1

komentar (1) | | Read More...

Komposisi Fungsi

Jumat, 08 Februari 2013

 Daerah Asal (Domain) dan Daerah Hasil (Range)

      a. JIka diketahui fungsi dalam Bentuk Aakar 
            
                         Domain x  ≥ 0 dan Range nilai daridomain
  b. Jika diketahui Fungsi dalam Bentuk Pembagian
            
                           Domain      
  c. JIka diketahui Akar Pembagian
              Domain      
 d. Jika diketahui Fungsi Logaritma 

         F(x) = ^alog b     Domain b>0 dan  a>0 ,a tidak boleh bernilai 1

      Operasi Aljabar Fungsi

     Jika  fungsi  f  dan g  dengan D_f = D_f = D berlaku operasi aljabar      sebagai berikut
      1. Penjumlahan 
           Notasinya:
                                       
      2. Pengurangan
           Notasinya:
                                     
      3. Perkalian
          Notasinya:
                         
      4. Pembagian
           Notasinya:
                                       

komentar | | Read More...

Logaritma

 Logaritma
    Bentuk Umum Logaritma adalah

                                   

                                                                      a = basis logaritma

                                                                      b = bilangan pokok logaritma

                                                                      c = hasil logaritma

    Sifat-Sifat Logaritma

    1. ª log a = 1

    2. ª log 1 = 0

    3. ª log aⁿ = n

    4. ª log bⁿ = n • ª log b

    5. ªˆⁿ log b ^m = ^m/n • ª log b

    6. ª log (b c) = ª log b + ª log c

    7. ª log (b / c) = ª log b - ª log c

    8. ª log b • ^b log c • ^c log d = ª log d

    9.  ª log b= 1/^blog a=log(a)/log(b)

komentar | | Read More...

Eksponen

1. Eksponen

    Persamaan Eksponen

(i)    Bentuk  a^f(x)  =a^g(x)  

                Bentuk Penyelesain   f(x) = g(x)

(ii)   Bentuk   h(x)^f(x)  =h(x)^g(x) 

              Bentuk Penyelesain  1. f(x)=g(x)

                                               2. h(x)=1

                                               3. hx)=0  syarat f(x)>0 dan g(x)>0

                                               4. h(x)=-1 syarat  (-1)^f(x)  =(-1)^g(x) 

    Pertidaksamaan Eksponen

    (i)        Bentuk a^f(x)  > a^g(x)  

                          f(x) > g(x)        syarat a>0

    (ii)       Bentuk a^f(x)  > a^g(x) 

                        f(x) < g(x)        syarat 0<a<1

    Sifat-Sifat Eksponen

  1.       a^o  = 1 

  2.       1ⁿ  = 1 

  3.       a^m+n  =  a^m  aⁿ 

  4.       a^m-n  =  a^m / aⁿ 

  5.      a^m b^m = (ab)^m 

  6.      (a^m) ⁿ  =  a^mn 

komentar | | Read More...

Aksioma Lapangan (Field)

Kamis, 07 Februari 2013

Aksioma Bilangan Real
Aksioma Lapangan
Misalkan R adalah himpunan bilangan real, Himpunan yang memenuhi aksioma dibawah ini disebut lapangan terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.)
    A1.  a+b =b+a
    A2.  (a+b)+c=a+(b+c)
    A3. Ada 0 anggota bilangan real, sehingga a+0 = 0+a = a untuk setiap a bilangan real
    A4. Untuk setiap a bilangan real, ada satu b anggota bil. Real sehingga a+b=0
    A5. a.b=b.a
    A6. (ab).c = a.(bc)
    A7. Ada 1 anggota bilangan real, sehingga 1.a=a.1=1, untuk setiap a anggta bilangan real
    A8. Untuk setiap a anggota bilangan real, a tidak nol,ada b anggota R sehingga ab=1
    A9. a(b+c)=ab+ac

Aksioma Urutan
Misalkan P adalah himpunan bagian dari R yang memenuhi:
    A1.  Jika x dan y di P maka x+y  anggota P
    A2.  Jika x dan y di P, maka x.y anggota P
    A3.  Jika x di P, maka -x bukan anggota P
    A4.  Jika x anggota P maka x=0, atau x anggota P atau -x anggota P
suatu sistem yang memenuhi aksioma lapangan dan aksimoa urutan disebut lapangan terurut. Sehingga bilangan real dan bilangan rasionan lapangan terurut.
Contoh Soal:
1. Diktahui  untuk a anggota bilangan real, dimana
    
    Buktikan bahwa a=0
    Bukti:
    Andaikan
                   
     misal a>0, kemudian pilih
                   
     maka
                  
     hal ini kontradiksi, sehingga terbukti a = 0

komentar | | Read More...

Supremum dan Infimum

Definisi Suprimum dan Infimum
Misalkan E himpunan bagian dari R

1. a  batas atas E, jika     untuk setiap x anggota E
2. c  batas atas terkecil dari E, jika 
1. c  batas atas E
2. Jika a batas atas E, maka   
• Notasi :               
• 
3. b  batas bawah E, jika   untuk setiap x anggota E
4. d  batas bawah terbesar dari E , jika
1. d  batas bawah E
2. jika b batas bawah E, maka   
• Notasi:
•  

Contoh Soal dan Pembuktian
1. Buktikan Sup (E) =c jika dan hanya jika
      
     
    Bukti:
     Pembuktian ke kanan (-->)
      (i) Jelas, sebab c =Sup (E) sehingga
                    
      (ii) Andaikan (ii) tidak berlaku, maka
           
           jadi  batas atas E
           padahal c= Sup (E) ,  <c hal ini kontradiksi
           sehingga (ii) berlaku
 2. Buktikan bahwa Inf (E) = d jika dan hanya jika
      
     

komentar | | Read More...